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看点数学被认为是“理性学科”使人敬畏。但在长期研究儿童大脑及思维培养的夏骏轶老师看来，想要学到数学知识技能的同时，建立起良性的数学价值观，就必须用人文视角重新审视数学启蒙教育。那么到底如何和孩子探讨数学问题？家长又如何帮助孩子发现数学问题的根源？其实，就是两个字“闲聊”。具体如何做，一起来听听夏骏轶 老师的建议。 文丨夏骏轶 编辑丨李臻 我曾谈到用人文视角重新审视数学启蒙教育，并且探讨了三个观点： 1、发掘数学问题根源，引导孩子用思维代替记忆，发展独立思考能力。 2、重视认知科学在数学启蒙教育中的应用 3、激发儿童对数学的良性情感 文章发表后，有很多家长给我反馈，说这三个观点，提出来容易，要真正做好做实，挺困难的。就拿第一个观点来讲，就有家长觉得，和孩子解释数学，往往讲不清、讲不透，很难真正发掘到数学的根源问题，这该如何是好？ 其实，办法很简单，就是两个字“闲聊”。这话怎么说呢？我们先来看一个例子： 比如有这样的题目：9+7=？，家长看到这样的问题，往往直觉的反应是：“哦，这是一道题！所以，我应该教给孩子怎么解答这个问题，先引导孩子观察一下问题是什么，条件是什么，然后第一步怎么考虑，第二步怎么考虑，最后应该怎么考虑……” 但当我们把构想中和孩子的交流方案付诸实施的时候，往往会发现说好的数学探讨变成了一次次的泥石流尬聊，或者一场场惨不忍睹的车祸现场，家长心里想着：“这么容易你还不知道！”孩子心里想着：“摔啊！这哪里容易啦？！ 那么到底如何和孩子探讨数学问题？家长又如何帮助孩子发现数学问题的根源？相信每一位智慧的父母都有自己智慧的方法，而我在这里给大家的第一条建议就是： 闲聊——坚持不要就事论事 为什么我要把这一条放在首要位置呢？ 因为，从家长的角度来看，往往认为，一个数学问题，就是一个程序性解法，规划适当的步骤，输入数据，就能得出结果。这是教的视角，或者仅仅是解决当下问题的视角。 但是从学的视角来看，或者说从孩子角度来看，他们并没有成人的注意力切换能力和短时记忆能力，也没有成人的结构化思维，他们的结构化思维正在建立之中，他们需要的是有条不紊建立数学关系和知识组块，所以他们在面对一个问题时，更倾向于去搞清楚与这个问题相关的各种情况，而不是快速得到一个结论。 所以成人和孩子交流数学问题时，往往会陷入线性逻辑思维和发散思维的对抗，而小朋友的思维好像铀235，给他一个中子，立刻链式反应，你追也追不回来。 奇普?希思在《黏性》这本书中提到一个观念，叫“知识的诅咒”，意思是说“一旦我们知道某样东西，我们就会发现很难想象不知道它是什么样子。别人分享我们的知识变得很困难，因为我们不易重造我们听众的心境，除非我们能够灵活的进行范式转换。” 这种情况我把它称为“知识结构化的壁垒”：墙内墙外两重天，新手老手两种人，专家不知道新手苦，话不投机半句多。而在数学这样逻辑刚性结构很强的学科中，体现的尤为明显。 路人我们可以不管，自己的娃还得自己鸡，不就事论事，那又该肿么办呢？ 1 看清数学问题的作用 首先，我们需要认识到，同样一个数学问题，本身可以有两种不同的用途，一是学习资源，二是测试工具。作为学习资源的数学问题，作用是帮助孩子整合零散的数学认识，作为测试工具的数学问题，作用是发现孩子在数学认知上的漏洞。 所以，如果我们在和孩子讨论数学问题时，发现孩子不太明白，首先要放下自己的线性逻辑，接纳孩子发散、碎片和幼稚的思维。并且高兴的宣布：“太好了，我找到了一个孩子认知上的薄弱点！” 2 离开眼前的苟且，深入闲聊，拆解寻根。 然后，我们需要做的，是继续提问和交流，但这时我们焦点不应该纠缠问题本身，而是要试着通过交流把问题拆解，找到孩子真正认知薄弱的核心。比如上面这个案例，表面上，孩子对20以内进位加法不理解，但实质上到底是哪个环节出了问题？我们需要继续和孩子交流下去。 依然回到刚才那个场景，如果我们换一个方式和孩子交流，或许情况就会不同： 家庭对话 背后的意义 孩子：爸爸（妈妈），这道题9+7=□我不会做哎 家长：不会做啊，我先问问你，你看到了什么？ 了解孩子信息收集的情况 孩子：我看到了“9”+“7” 发现孩子有信息遗漏，没有注意到等号 家长：是不是漏掉了什么啊？ 孩子：哦，还有一个等号。 家长：等号是什么意思啊？ 孩子有信息遗漏，可能是概念不清，要追问 孩子：等号就是相等的意思。 家长：相等是什么意思啊？ 探讨等号的实际含义 孩子：你怎么这么笨啊，相等就是两个一样啊！ 家长：爸爸（妈妈）是很笨呀，所以宝贝能帮我举一个相等的例子吗？ 请孩子举例，看看他理解的程度 孩子：比如说1+1=2。 家长：不对啊，1+1是1+1，看上去和2不一样，怎么相等啊？ 继续追问 孩子：啊呀，1加上1不就是等于2嘛？ 家长：啊？加上是什么意思？ 转向探讨加号概念 孩子：加上就是合在一起 家长：合在一起会怎么样？ 孩子：会变大 家长：那么“9和“7”合在一起是多少呢？ 回到原题继续探讨 孩子：我不知道 家长：那有什么办法可以知道呢？ 探查孩子对合并计数的策略 孩子：我知道，可以数一数 家长：怎么数呢？ 孩子：一个一个数就能得到总数 发现孩子的计数水平停留在点数上，还没有理解数群计数，也就是还不会把一个数放在心里，继续数下去，直至得出总数。 家长：那么请你试试看。 通过操作，发果然现问题出在数数的环节上，我们就可以试着多让孩子进行数群计数活动。 大家发现没有，这样的交流，我们把目标从“教会孩子明白当下问题”转移到了“了解孩子到底哪里有知识的薄弱点”上，这样我们就比较容易找到问题症结，再进行具体的指导，就比我们就事论事，或者一味强调某些套路方法（比如破十法，凑十法）要有效和扎实的多。 或许家长会觉得，这样做比较花费精力，而且家长对儿童数学启蒙的认识也不够，可能做不得到有效的诊断分析。但是我要说，如果我们想要孩子能够真正把数学思维启蒙学扎实，这些功夫是需要扎扎实实做好的。 而且就儿童数学启蒙阶段的实际情况来说，认知的核心部分还是相对有限的，大家如果能够尽可能的在有效的认知结构下，扎扎实实把孩子的思维启蒙教育做好，那么前难后易，对孩子的一生都会有很大的助益。 此外，关于儿童数学启蒙，是有其核心概念的，这些核心概念诠释了孩子在理解学习数学过程中，最内核最基础的认知要点，我花了一点时间制作了这张儿童数学核心经验图表，在这里提供给各位家长，大家可以按图索骥，来发现孩子的认知薄弱环节，希望能够帮到大家。当然，我们也可以去咨询有经验的数学思维教师，这样理解起来会更有针对性，也更清晰。 回过头来，之前我们所谈的，通过与孩子交流数学看法，分析孩子数学认知程度，从而发现孩子数学的根源问题，提升孩子的数学思维能力。这样的方法，在一定范围内，其实依旧是就事论事的学习方法，依旧是微观上的，解决具体问题的方法。 我们能够帮助孩子发现一个问题两个问题，但是总有更多的问题，我们没有办法手把手的帮孩子找到所有的问题，如果我们给孩子进行的数学思维启蒙，都是运用这样的方法，最后的结果就是挂一漏万。对孩子的数学素养培养，数学洞察能力的提升，数学智慧的发展，作用不大。 授人予鱼不如授人与渔，有没有一种方法可以从更宏观的角度，帮助孩子提升数学思维能力呢？的确有！ 闲话聊天，发掘高观点、元概念 如果大家回想我们自己的学习之路，会发现一个现象：我们往往接受一种学习观点，就是通过累积基础知识，量变引起质变，然后再学更难的知识，好像升级打怪兽一样。 但是实际上，我们在学习具体的基础知识时，会遇到很多认识上的障碍，这些障碍在某一个阶段怎么都越不过去。而这种情况，在我们到达下一个学习阶段的时候，会突然峰回路转，之前困扰我们的障碍都不再称之为障碍了。 举一个很简单的例子，我们在小学阶段学习不同类型的应用题，各种被虐，各种死去活来，但是进入初中，学习了方程，顿时发现，之前的问题原来如此简单。所以就有同学说：折腾什么应用题，早点教方程不好吗？这话虽然不全对，但是有一定的正确性。 说明了什么呢？说到底，其实就是我们常说的高屋建瓴。用高概念去指导低概念知识的获得事半功倍，上位概念越坚厚，下位概念获取更容易——飞机打坦克容易，坦克打飞机困难。 F.克莱因在《高观点下的初等数学》一书中讲到：“应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体，应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。”这段话虽然是在讲教师责任，但对孩子的数学学习也有很强的参考价值。 不知道大家有没有发现，前面那一张儿童数学核心经验的图表，其中所列举的，都是属于数学概念层面的内容，这其实恰恰符合了数学学习的规律——概念的理解要高于基本知识。 但是对于数学素养的培养、数学洞察能力的提升而言，光有核心概念的理解还是不够的，我们更需要往更深层去发掘一些元概念——儿童的哲学观念。 钱学森教授曾经把人类科学知识分为六个组成部分，即哲学、自然科学、社会科学、数学、技术科学和系统工程六个门类，而概括一切的是哲学。而数学从其逻辑特性，也是起源于哲学。 现在各国对未来人才知识结构的分析形成的基本观点是：基础知识形成学科核心概念，学科核心概念横向形成跨学科主题，而在金字塔的顶端由哲学观点进行统领。这样的知识结构有利于培育创新性人才。再加之刚才所阐述的：高概念指导低概念知识的学习，哲学性思维作为儿童数学思维启蒙的元概念，是合乎逻辑的选择。 那么，大家或许会有疑问：哲学是一门非常高深的学问，孩子在启蒙的时候，真的要和他们讲这些“大道理”吗？ 其实，我们在进行儿童数学思维启蒙时和孩子交流的那些哲学观念，并不是康德、黑格尔那些高深的哲学思想，马修斯在《哲学与幼童》一书中谈到过这个问题，他认为： 儿童在各个领域所获得的知识具有理论的基本性质，是非正式的直觉“理论”。在婴儿期，这些理论非常简单，以后理论逐渐变得复杂。幼儿可能只有一些理论，而年长一点的儿童则可能拥有各种不同领域的理论。这些理论是解释性的，能够回答“为什么”的问题。在心理学研究中，通常称为“儿童的朴素理论” 其实，就其本质而言，就是“儿童的哲学”，是儿童对宇宙万象、对人生百态、对多彩文化的解释，都是通向一些最根本的哲学问题的。 比如有的时候我们会在早餐的时候催促孩子动作快点，因为动作慢上幼儿园就会迟到，从这个现象出发，就有可能引发一些带有哲学意味的讨论。 马修斯在他的书中记载了这样的情况：“詹姆斯的母亲抱怨人们制定出“早起”这样东西，让人不得不遵守”，6岁的丹尼斯则慢悠悠的地说：“早和迟都不是东西，他们不像桌子、椅子和杯子一类——你能摸到的东西！” 如果我们用数学思维的观点来看这段对话，这其实这就是孩子自发的对抽象概念的一次探索。 再比如： 吃过晚饭，家里人围坐在一起聊天，忽然爸爸提出这个一个问题：“自行车是否就是少了一个轮子的三轮车？”然后，这样的讨论就一发不可收拾，孩子们纷纷效仿： “一张椅子是否就是没有没有轮翘的摇椅？” “猩猩是否是没有尾巴的猴子？” “老鼠是否是没有翅膀的蝙蝠？” “蛇是否是没有脚的蜥蜴？” …… 这些稀奇古怪的问题，本质上其实是孩子对分类概念的一次脑力激荡，是一场愉快的思维实验。 与此类似的闲聊还有的很多： 如果世界上没有数字会怎么样？——数字符号的意义探讨。 手指头看不见，它还在那里吗？——守恒观念。 看到的物体和真实的物体会不一样——表象和真实，抽象意识的萌芽。 我们能够预测一些事物，但有时会失败——推理的萌芽。 我们画的画和真实情况不一样——试图理解符号和真实。 一棵大树是如何一步一步变成玩具的？——行动与因果。 如果有一把够锋利的刀，我们可以把一片面包一直分下去——无限可分性。 我可以可以一直数下去——无穷可数性。 探讨宇宙的无限——同样是试图理解无穷概念。 火车跑的比小车快，飞机跑的比火车快——相对性。 所以，我们可以发现，孩子在早期认识世界的时候，通过知识的学习会产生一些基本的哲学观点，对于这些朴素的哲学观点的讨论和交流，会推动孩子进行更深一步的探索和思考，而它的形式其实和闲聊并没有太大的差别，因此我们的家长常常会忽视这些现象，这其实是非常可惜的。 如果我们能够认识到这些问题对孩子思维启蒙的意义，对孩子数学学习的基础价值，那么我们就能够把握住这些在家庭生活中闪光的智慧火花，能在闲聊中，一次又一次的完成对孩子的思维训练，同时也在欢笑中收获数学思维的洞察力。 最后我想说，归根结底，数学思维的培养是孩子的启蒙，如果我们想要找寻什么秘诀的话，秘诀就是更了解孩子。多观察、多交流、多闲聊，帮助孩子从生活中、游戏中、自然经验中发现中发现抽象而精确的数学，比任何“教育秘籍”都要来得有效。
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